tan90度是多少：深度解析三角函數的極限與數學世界中的「不存在」

欸，提到三角函數，大家可能腦袋裡會跑出好多角度跟數值對不對？像是sin30度啦、cos60度啦，這些我們在國高中時期都學過，也常常計算。不過，當我們問到「tan90度是多少」的時候，答案可就不是一個簡單的數字了喔！其實，tan90度在數學上是「未定義」（Undefined）的，它並不存在一個具體的數值。這可不是一個小小的例外，而是觸及到三角函數深層概念的一個重要例子，絕對值得我們好好來聊聊。

你可能會覺得很奇怪，為什麼其他角度都有值，偏偏90度就沒有呢？難道它特別神秘嗎？嘿，別急別急，今天我就要帶大家從最基礎的定義開始，一路探討到這個「未定義」背後的數學原理，保證讓你聽得明明白白，還能對三角函數有更不一樣的理解！

到底什麼是正切函數（Tangent）？

在我們深入探討tan90度為什麼會是未定義之前，讓我們先快速複習一下，到底什麼是正切函數（Tangent），也就是我們常說的「tan」？

簡單來說，正切函數有幾種理解方式：

1. 直角三角形的比例

最一開始接觸tan，我們都是從直角三角形學起的，對吧？在一個直角三角形裡面，對於一個銳角（假設是θ），正切值就是這個角的對邊長度，除以鄰邊長度。也就是說：

tan(θ) = 對邊 / 鄰邊

這是一個非常直觀的定義，讓我們可以把角度和邊長的比例連結起來。想像一下，當你量測一座山的高度，而你只能站在遠處測量角度，這時候tan值就派上用場了！

2. 透過正弦（Sine）和餘弦（Cosine）函數

隨著我們學習的深入，會發現三角函數之間其實是有關係的。正切函數tan(θ)也可以用正弦函數sin(θ)和餘弦函數cos(θ)來表達：

tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)

這個關係式超級重要！它不只在計算上很方便，更是我們理解tan90度為什麼會是未定義的關鍵核心喔。

3. 單位圓上的幾何意義

當角度不再侷限於銳角時，我們會用到單位圓（一個圓心在原點，半徑為1的圓）來定義三角函數。在單位圓上，一個角度θ的終邊與圓的交點座標是(x, y)。這時候：

cos(θ) = x 座標

sin(θ) = y 座標

那麼，tan(θ)呢？它其實就是單位圓上過原點和該交點的直線斜率！想像一下，從原點拉一條線到圓上的某一點，這條線的斜率就是該角度的正切值。是不是很酷？

好啦，有了這些基本概念，我們就可以準備來揭開tan90度的神秘面紗囉！

為什麼tan90度是「未定義」？

現在，我們就來好好解答這個核心問題：為什麼tan90度會是未定義？

這真的不是數學老師隨便說說的，而是有非常嚴謹的邏輯推導。讓我們一步一步來看：

從「tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)」來看

這是最直接也最容易理解的方式。我們知道：

sin(90度) = 1

cos(90度) = 0

所以，如果我們把這些值代入正切函數的公式：

tan(90度) = sin(90度) / cos(90度) = 1 / 0

看到問題點了嗎？沒錯！數學上，我們都知道任何數都不能除以零。分母是零的運算在數學上是沒有意義的，因此，1除以0是一個未定義的運算。這也是為什麼tan90度會被判定為「未定義」的最主要原因。

這就像是你手上有一顆蘋果，卻想分給零個人，這根本辦不到啊！沒有人可以得到蘋果，這個動作本身就沒有結果。所以，在數學世界裡，除以零就是一個「不可能的任務」。

從直角三角形的角度來看

還記得我們說過，tan(θ) = 對邊 / 鄰邊嗎？好，現在想像一個直角三角形，其中一個角是θ。

當這個角θ越來越接近90度的時候，會發生什麼事呢？

直角三角形的斜邊會變得幾乎垂直。

原本是鄰邊的那條邊，會變得越來越短，短到幾乎快要變成零。

而對邊呢，它的長度則會變得非常非常長，甚至趨近於無限大（如果你把斜邊無限拉長）。

當θ真的達到90度的時候，這個「直角三角形」就不再是一個我們平常理解的三角形了。因為它的「鄰邊」會完全消失，變成零。這樣一來，要用「對邊除以鄰邊」來計算，就又回到了「除以零」的困境了！所以，從幾何直觀上來看，tan90度也是無法被定義的。

從單位圓和斜率的角度來看

我們也提到過，tan(θ)是單位圓上從原點到角度終邊交點的直線斜率。當角度是90度的時候，終邊會落在正Y軸上，與單位圓的交點座標是(0, 1)。

現在想想看，一條通過原點(0,0)和(0,1)的直線，是什麼樣的直線？

沒錯，它就是Y軸！而Y軸是一條垂直線，它的斜率在數學上也是「未定義」的。因為斜率的公式是(y2 - y1) / (x2 - x1)，在這裡就是(1-0)/(0-0) = 1/0，再次出現除以零的情況。

所以，無論從哪個角度去觀察，tan90度都是一個未定義的值，而不是任何一個具體的數字。這說明了數學定義的嚴謹性，每一個環節都是扣緊的呢！

「未定義」跟「無限大」是一樣的嗎？很多人都搞錯！

講到這裡，一定會有人問：「啊，那未定義不就是無限大嗎？」

大錯特錯！這是一個超級常見的迷思喔！「未定義」跟「無限大」是兩個完全不同的概念，絕對不能混為一談。

無限大（Infinity, ∞）

「無限大」表示一個數值趨近於沒有止盡的狀態，它是一個概念，而不是一個實數。例如，當x趨近於0時，1/x的值會變得非常非常大，我們可以說它趨近於無限大。在微積分裡面，我們會談到極限的概念：

當x從正方向趨近於0時，1/x → +∞

當x從負方向趨近於0時，1/x → -∞

這表示1/x的值會往正的或負的極端跑，但是它仍然是一個數值「趨勢」，而不是一個固定的值。無限大通常會用在描述數量的極致，或者在極限的概念中。

未定義（Undefined）

而「未定義」則表示在該數學系統中，這個表達式或運算根本沒有被賦予任何意義，沒有任何有效的數值可以代表它。除以零就是最典型的例子。它不表示「非常大」或「非常小」，而是「根本沒有答案」。

想像一下，如果有人問你「紅色是什麼味道？」這問題本身就沒有意義，因為紅色是顏色，不是味道。你不能說它是「無限甜」或「無限酸」，它就是一個「未定義」的提問。是不是這樣說就清楚多了？

所以，當你看到tan90度時，腦中浮現的應該是「無法計算」、「沒有意義」，而不是「很大很大」喔！

為什麼理解「tan90度是未定義」這麼重要？

你可能會覺得：「好啦好啦，知道它未定義了，那又怎樣？這對我日常生活有什麼影響？」

其實，理解tan90度是未定義，不僅僅是為了數學考試，更是培養我們嚴謹思考、面對極端情況如何應對的一個重要訓練！

1. 培養數學嚴謹性

數學是建立在邏輯和嚴謹定義上的科學。除以零未定義，這是數學的黃金法則。如果我們不理解這些基本限制，就可能在更複雜的計算中犯下嚴重的錯誤。tan90度就是一個活生生的例子，提醒我們要尊重數學規則。

2. 理解函數的限制與行為

在函數的世界裡，很多函數都有它們的「禁區」。例如，對數函數的引數不能是負數或零；平方根函數的引數不能是負數。tan90度的未定義，代表了正切函數的一個「漸近線」行為。當角度趨近於90度時，函數值會衝向無限大或負無限大，而在90度本身，函數值是不存在的。這種對函數邊界行為的理解，對高等數學甚至科學分析都超重要！

還記得我們剛剛說單位圓上斜率那個例子嗎？當角度從89度變成89.9度再變成89.999度時，斜率會變得越來越陡峭，越來越大。但一到90度，它就直接變成一條垂直線，斜率也隨之「消失」了。這是一個很奇妙又引人入勝的數學現象。

3. 在實際應用中避免錯誤

雖然普通人可能很少會直接計算tan90度，但在工程、物理、電腦繪圖等領域，三角函數可是不可或缺的工具。假設你在寫一段程式，計算物體軌跡的角度，如果不小心讓角度趨近於90度並直接計算tan值，很可能會導致程式崩潰、產生錯誤結果，甚至是系統失效。正確地處理這種邊界情況（例如加入判斷式），是工程師和科學家們必備的技能。

我自己以前在學數值分析的時候，就遇過因為沒有考慮到這種「未定義」情況而導致模型跑不出結果的窘境。那時候真的會抓頭，想說到底是哪裡出了問題？後來才發現，原來是某些參數組合讓分母變成零了啦！這種經驗讓我對數學的嚴謹性有了更深刻的體會。所以說，這些「小細節」真的很重要。

其他也會「未定義」的三角函數值

了解了tan90度為什麼未定義之後，你可能會好奇，是不是還有其他的三角函數值也是未定義呢？答案是肯定的！

其實，只要涉及「除以零」的情況，就會出現未定義。讓我們來看看幾個常見的例子：

cot(0度)

餘切函數 cot(θ) 是正切函數的倒數，也就是 cos(θ) / sin(θ)。

cot(0度) = cos(0度) / sin(0度) = 1 / 0。你看，分母又變成零了，所以 cot(0度) 也是未定義的喔！

sec(90度)

正割函數 sec(θ) 是餘弦函數的倒數，也就是 1 / cos(θ)。

sec(90度) = 1 / cos(90度) = 1 / 0。沒錯，再次出現除以零，所以 sec(90度) 也是未定義的！

csc(0度) 或 csc(180度)

餘割函數 csc(θ) 是正弦函數的倒數，也就是 1 / sin(θ)。

由於 sin(0度) = 0 和 sin(180度) = 0，所以 csc(0度) = 1 / 0 和 csc(180度) = 1 / 0，它們都是未定義的。

看到了吧？這些特殊角度的三角函數值之所以未定義，通通都是因為最後會歸結到「除以零」這個數學上的禁區。這也再次證明了數學的內在一致性，真的是環環相扣、滴水不漏呢！

在計算機或計算機程式中，tan90度會顯示什麼？

如果你在計算機（特別是手機或電腦上的科學計算機）輸入「tan(90)」，通常會得到一個錯誤訊息，例如：

"Error"

"Math Error"

"Domain Error"

這表示計算機的程式設計者很清楚tan90度的未定義性質，所以當遇到這種情況時，它會直接拒絕計算並回報錯誤，而不是給你一個錯誤的數值。這是一個非常好的設計，避免誤導使用者。

在程式語言中，如果你試圖執行 `tan(M_PI / 2)`（其中 `M_PI / 2` 代表90度弧度），許多程式語言的數學函式庫會返回一個特殊的浮點數值，例如：

`NaN` (Not a Number，不是一個數字)

或者觸發一個浮點數例外（floating-point exception）

這也是在告訴你，這個計算的結果是「無效的」或「不存在的」，再次強調了tan90度的未定義特性。

總結：tan90度是多少？它就是不存在！

好啦，經過這麼一番深度剖析，相信你對「tan90度是多少」這個問題的答案已經非常清楚了。

簡而言之，tan90度在數學上是「未定義」的，它沒有任何數值可以表示，原因就在於它涉及到「除以零」這個數學上的禁忌。

這不僅僅是一個冷知識，更是理解數學嚴謹性、函數行為極限以及在實際應用中避免錯誤的重要一課。下次當你再聽到有人問起這個問題時，你就可以很有自信地跟他們解釋，為什麼它不是無限大，而是一個真正的「不存在」！

學習數學就是這樣，很多時候我們看到的表面現象，背後都隱藏著深刻的原理和嚴謹的邏輯。希望這篇文章能幫助你對三角函數有更透徹的理解，也對數學世界充滿更多的好奇心喔！

常見問題與專業解答

Q1：tan90度等於無限大嗎？為什麼這麼多人會誤解？

A1： 不，tan90度不等於無限大。這是一個非常普遍的誤解，主要原因可能來自於對「極限」概念的不完全理解。

當我們說某個函數值「趨近於無限大」時，指的是當自變數趨近於某個特定值時，函數的結果會變得無限制地大（或無限制地小）。以tan函數為例，當角度從略小於90度的方向（例如89度、89.9度、89.99度）趨近於90度時，tan值會越來越大，趨近於正無限大（+∞）。反之，當角度從略大於90度的方向（例如91度、90.1度、90.01度）趨近於90度時，tan值會越來越小，趨近於負無限大（-∞）。

然而，「趨近於無限大」跟「在那個點上的實際值」是兩回事。在90度這個精確的點上，由於cos(90度)等於0，導致tan(90度) = sin(90度) / cos(90度) 變成 1 / 0。數學上，除以零是未定義的，這代表在90度這個點上，tan函數沒有任何數值可以代表它，它根本不存在。無限大是一個「概念」或「趨勢」，而不是一個實際的數字；而未定義則是指「沒有任何有效值」。因此，兩者絕不能混為一談。

Q2：為什麼在單位圓上，tan90度的斜率會是未定義？

A2： 這是因為在單位圓中，tan(θ) 代表的是從原點(0,0)到角度θ的終邊與單位圓交點(x, y)所形成的直線的斜率。斜率的計算公式是 (y2 - y1) / (x2 - x1)。

當角度是90度時，它的終邊會落在正Y軸上，與單位圓的交點座標是(0, 1)。那麼，我們計算這條從(0,0)到(0,1)的直線斜率：

斜率 = (1 - 0) / (0 - 0) = 1 / 0

如前面所解釋的，任何數除以零在數學上都是未定義的。這條從(0,0)到(0,1)的直線其實就是Y軸本身，它是一條完全垂直的直線。在笛卡爾坐標系中，垂直線的斜率是未定義的。你可以想像一下，一條垂直線的「傾斜程度」是無限大的，無法用一個有限的數字來表示，因此就被定義為未定義。這與除以零的概念完美契合，再次印證了tan90度是未定義的。

Q3：除了tan90度，還有哪些角度的正切值是未定義的？

A3： 凡是讓餘弦函數cos(θ)值為零的角度，其正切值tan(θ)都會是未定義的。因為tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)，當分母cos(θ)為零時，就會發生除以零的情況。

在單位圓上，cos(θ)代表的是X座標。X座標為零的點位於Y軸上。因此，所有角度在Y軸上的點，其餘弦值都為零。這些角度包括：

90度 (π/2 弧度)

270度 (3π/2 弧度)

-90度 (-π/2 弧度)

450度 (5π/2 弧度)

...以此類推，所有形如 (90 + n * 180) 度，或者 (π/2 + n * π) 弧度的角度，其中n是任意整數。

簡而言之，每當角度使終邊落在Y軸上時，其正切值都是未定義的。這也是正切函數圖形會出現垂直漸近線的原因，這些漸近線就出現在這些未定義的角度上。

Q4：在工程或物理計算中，如果遇到tan90度這種情況該怎麼辦？

A4： 在工程或物理計算中遇到需要計算tan90度（或任何其他導致「除以零」的狀況）時，這通常意味著你遇到了「奇異點」或「邊界條件」。直接計算會導致錯誤，所以需要採取一些策略來處理：

檢查模型或公式： 首先，重新審視你的數學模型或物理公式。這種情況可能代表了物理現象本身的極限，例如，一個物體以90度角垂直向上發射，如果用某些公式直接套用，可能會導致問題。這時可能需要調整模型，或者使用不同的公式來描述這種特殊情況。

使用極限概念： 如果情況允許，可以考慮使用極限的概念。不是直接計算該點的值，而是計算當角度無限趨近於90度時的極限行為。這通常在理論分析中更有用，例如分析系統穩定性或發散性。

引入容錯機制： 在數值計算或程式設計中，可以引入一個小的容錯範圍。例如，如果角度非常接近90度（例如89.999度或90.001度），而不是精確的90度，那麼tan值會非常大或非常小。你可以設定一個閾值，一旦角度進入這個閾值範圍，就將其視為特殊情況處理，例如給予一個預設的最大或最小值，或者直接跳過該次計算並報警。

切換座標系或函數： 有時，遇到奇異點是因為選擇了不適合的座標系或數學函數。例如，在處理垂直方向的力時，可能直接使用tan函數會出問題，但如果換成使用sin和cos分量來分析，可能就沒有除以零的問題。換句話說，找到另一種數學表達方式來避免奇異點。

重點在於，遇到這種「未定義」的情況，不是直接代入計算，而是要意識到這是一個需要特殊處理的邊界條件，它可能隱含了重要的物理意義或數學上的限制，需要更深入的思考和設計。